Mes idées sur la géométrie algébrique (Written in French)
J'ai été initié à la géométrie algébrique au printemps 2023. En fait, j'ai officiellement commencé à étudier la géométrie algébrique à l'automne 2023. Parce que les connaissances préalables requises par cette direction sont trop nombreuses et trop compliquées, je n'ai pas pu commencer. Comme pour le nom de cette branche des mathématiques, nous pourrions la confondre avec une simple combinaison d'algèbre et de géométrie. En général, ce que nous appelons géométrie algébrique fait référence à la base de la théorie des schémas développée au cours des dernières décennies. C'est aussi l'une des branches les plus dynamiques de toutes les mathématiques de nos jours.Avant d’apprendre la géométrie algébrique (Les chapitres inclus sont: espace localement annelé, schéma, gerbe et tiges, schéma réduit/irréductible/noethérien/localement noethérien, dimension des schémas, toutes sortes de morphismes de schémas et ainsi de suite), vous devez préparer les choses suivantes:
- Un moteur de recherche universel. Il peut être votre guide sur la route de la géométrie algébrique comme Google, Bing. Si vous êtes en Chine, veuillez ne pas sélectionner et utiliser Baidu pour rechercher quoi que ce soit (y compris la géométrie algébrique).
- Un manuel adapté à l’introduction à la géométrie algébrique. (Remarque: je ne sais pas comment vous en recommander un spécifique, mais je peux vous apprendre à choisir un manuel qui vous convient.)
- Bonne maîtrise de l’anglais en termes mathématiques. En fait, que vous étudiiez la géométrie algébrique ou d’autres branches des mathématiques, l’anglais est une langue incontournable. L’anglais n’est pas seulement la lingua franca en mathématiques, mais aussi dans d’autres domaines. (En vous chuchotant, en fait, j’avais un mauvais anglais, jusqu’à ce que je lise le manuel de mathématiques écrit en anglais, et à partir de ce moment, j’ai redécouvert la motivation pour apprendre l’anglais.)
- Les fondements mathématiques nécessaires à l’apprentissage de la géométrie algébrique sont les suivants:
- Théorie des catégories. Après avoir appris l’algèbre abstraite, cette partie est nécessaire pour continuer à apprendre l’algèbre. (En fait, l’algèbre abstraite a déjà une formation en théorie des catégories.) La théorie des catégories elle-même est une branche de l’abstraction. De nombreuses branches de l’algèbre et de la géométrie et même des directions analytiques apprennent cette partie. Cela vous donne une perspective plus élevée sur les mathématiques. Il vous sera d’une grande aide pour établir un cadre mathématique abstrait rigoureux.
- Algèbre abstraite. Évidemment, cette partie est nécessaire.
- Théorie des groupes. Si vous ne pouvez que faire abstraction de l’algèbre, cela ne vous aidera pas du tout à apprendre la géométrie algébrique.
- Théorie de l’anneau. Cette partie est en fait préparée pour l’algèbre commutative ultérieure.
- Algèbre commutative. Si vous ne connaissez pas cette partie, vous pouvez également apprendre la géométrie algébrique. Mais vous ne pouvez pas apprendre grand-chose sur la théorie des schémas. Mais vous pouvez apprendre l’algèbre commutative tout en apprenant la géométrie algique, de sorte que l’algèbre commutative vous permettra d’apprendre l’algèbre commutative tout en fournissant plus d’intuitivité géométrique.
- Théorie des modules.
- Théorie des champs.
- Topologie. Cela inclut la topologie d’ensemble de points et la topologie algébrique de base (comprend l’espace de couverture, le groupe fondamental, l’homologie singulière, l’homologie simpliciale, la cohomologie, la cohomologie de De Rham, etc.).
- Algèbre homologique. L’algèbre d’homologie est développée à partir de la topologie algébrique. Mais la théorie de l’homologie de la topologie algébrique est loin d’être suffisante pour vous donner une base solide pour apprendre la géométrie algébrique.
- Collecteurs. Oui, vous avez besoin des bases de la géométrie, les variétés et les topologies sont les fondements de la géométrie.
- Géométrie riemannienne. Il s’agit d’un cours obligatoire pour tous les étudiants en géométrie.
- Géométrie différentielle des courbes et des surfaces. C’était en partie pour fournir la motivation et le contexte pour l’apprentissage de la géométrie riemannienne.
- Théorie de la gerbe.
- Toutes sortes de sujets.
- Le projet Stacks.
- Et ainsi de suite…
- (Très bien, c’est tout ce à quoi je peux penser pour l’instant, et j’en ajouterai d’autres plus tard quand j’aurai de nouvelles idées.)
Algebraic geometry - Wikipedia
Éléments de géométrie algébrique
Here have a detailed table of contents of EGA.