这是该网站中几乎所有数学学习方法的汇总，也是博主一点点探索出来的道路，不能代表所有人，只能代表博主的个人观点。
学习方法
- 学习一门新的数学课程，首先要了解它的发展历史及其提出的背景。也就是motivation。每一门数学课的背后都有一段历史发展的故事，而这些故事往往不会在教科书上体现出来，而在学习过程，如果不了解这段故事，你可能压根不知道数学在讲什么，它是干什么用的。
- 正式学数学之前，自己一定要对数学形成一个初步认识，也就是去了解下数学史，这里的数学史不是学校那种毫无水平的水课（我至今没见到关于高等数学的科普）这里推荐普林斯顿数学指南(三卷)，有能力可以去看英文原版，这才是一个比较正确的关于高等数学的科普书籍。数学史往往有着很深刻的 motivation，也就是这门数学是怎样创立的
- 其次，要评估下自己的数学水平。高等数学不同于中学的初等数学，高等数学是一个非常连贯的知识体系，有很多课程之间是有衔接的，如果你盲目去乱学，能不能学懂是一回事，但可以确定的是，这样做的效率是极其低下的。
- 在做完以上两步后，自己在脑海中梳理下以下这些数学的相关问题：1. 这部分所需要的数学基础是什么(也就是你在学这里之前需要具备什么样的基础能力) 2. 这部分数学具体是解决什么问题发展过来的(这是你能学透这门课的关键所在) 3. 这部分数学的发展方向是什么(也就是这部分数学缺陷在哪里，如何改进)
Think geometrically, prove algebraically, talk categorically. 形象地思考，严谨地证明，逻辑地说话。
- 摸清主线。一门数学里包括技术细节和主线核心。而细节相对于主线来说，往往没那么重要。历史是一本很好的参考书。遵循前人的发现过程，寻求他们的动机，才能跟他们一样想到同样的结果。而不是按照后人人为的编排教材顺序来进行学习。
- 重视联系。一个新东西只有和别的旧东西结合的越深才能更好地被理解和记忆。碰到新的概念和结果要一步一个脚印捋得清清楚楚的。这个概念为什么会出现？它和以前的哪个概念和结果是什么关系？要思考到什么程度？最好的就是，如果换你来你也得这样定义！把一个个结果和定理在脑海中编织成一个网，去思考网上任意两点之间的联系，联系越大，你的理解越深。你也越难忘记这些结果，不会发生考完试就还给老师的事情。记住！数学和其它的专业不同，前后课程的联系很大，如果你基础不牢，后面地动山摇。换句话说，学习数学其实在于不断地构建自己的知识体系。
- 做笔记。不要觉得自己的大脑的记忆力有多好，你大脑擅长分析，想象和创造，而不是记忆。不要觉得做笔记 low，看看笔记狂魔：达芬奇，高斯和钱钟书。我以前也是不做笔记的，但是在本科学数学专业后，意识到其门类之多，知识体系错综复杂，不做笔记根本缓不过来。自从做了笔记，脑不钝了，心不烦了，一口气能肝四五页证明了（安利脸）。前面我提过学习数学要构造自己的知识体系，这里的笔记就是你脑海中知识体系的具体化，说白了，这就是你写给自己的教科书。注意，这并不是简单的抄录书本，也不是只是自己对一两个问题的理解。而是要写得完备，有一个比较清晰的体系，你脑海中怎么想的，你就怎么去写。另外我推荐使用电子笔记来完成这项工作，这样方便修改和保存。
mathematics can be learned only by doing. 数学只有通过做才能学会。
- 做题。如果你学某个新的数学工具（概念，定理），都要及时巩固和完善，形成体系融入大脑，从而可以灵活使用它，你要不断的使用它。而最简单有效的方法就是做题（切记，不是反复刷那种重复性很强的题），我推荐做数学家的一些习题集，这些习题本身就是会帮助你构造体系。理解不同概念之间的联系。不停地使用你现有的知识体系去解决问题，不停地使用新的概念，熟悉它，把它变成你的某种本能。题目有三种：1、这种题目在于帮助你理解某一个定理，定义。这种题目比较简单，不需要多做。2、在于灵活的运用和理解多个定理，非常综合。很有难度，建议多做。3、开放性问题，需要把你自己创造性的改变现有定理，引入新的定义来解决。这个可以由自问自答来完成，自己问自己一个开放性问题（你不知道也不确定结论），然后自己去解决。这个在本科阶段不要玩得太过火
小建议
- 不要太拘泥于教材，既然是构筑体系，那么要以我为主，什么书你觉得最合你的心意，你就选什么教材。把它的想法吸收进你的体系。不停的修改你的体系，慢慢的体系就能融合进你的头脑里。当然了，体系有好有坏，我推荐的书是个人感觉很清新的。当你完全读不懂手上的这本教材的时候，说明你应该换一本低阶/简单的教材。教材应该先精读一本，再泛读大师级的代表作（好比先构建形成自己的知识体系下，再不断完善修改，完全融入头脑里）。同样的知识点和知识框架，但是在不同人和不同体系理解下，是会呈现成截然不同的叙述。这样是抓不住整本书乃至整门课程的重点的，因此，选择教材要选择自己可以接受的（不确定的话，选一本主流大众化的教材，因为这样的教材是面向大部分人的）学完可以再读些其他一些大师代表作。还有就是看些宏观上的架构书（这个很难找到适合的，一方面是架构书很少，另一方面是很难找到适合自己的），也可以看些综述
- 数学专业课很多，不能靠死记硬背去背定理。每一个定理的诞生都不是偶然，死记硬背是体会不了其中的内涵。正确的做法应该是，先问问自己，要得到这个定理的结论，需要证明哪些东西，再去看书的证明部分，是如何得到哪些东西。
- 画小圆而不是画大圆（先求精再求广）。思考这些问题的记得动笔，动笔的意义在于刺激你思考。而且人类的大脑像 CPU 而不是硬盘，擅长处理不擅长记忆，写在纸上。
- 制定计划和执行：数学是需要天天学月月学年年做的事情。所以要养成每天都学的好习惯。按照自己的时间表学习。至少要保证自己每天 6-8 个小时花在数学上，而且一日不可中断（节假日双休日也不行）。如何分配呢？其中至少有三个小时（看个人情况定）是集中思考时间，就是用你的知识去解决一个难题，这个难题不一定需要是什么超级难题，是你学习的科目中比较难的课后习题也行，目的在于培养你对难题的耐受度，和思考复杂问题的能力，真正的学术研究是马拉松一样的长跑，而不是百米冲刺，不练习耐力不行，至少 1-2 个小时用来总结和展望。自己做好知识的梳理，构造自己的体系，最好的方法就是写笔记（推荐电子笔记或者使用 LaTeX 做笔记），不仅仅是对一本书的理解，而是很多不同书对于一个“知识”的论述，不是简单的抄书，而是根据自己的理解把这个工具的理解写成一本书，包括完整的历史脉络，思想起源和现有的变种。最好参考多种书和论文，把他们都串联在一起，提取其共有的内核思维。
- 不要什么都求快速，基础要打牢。求多不求质是浮躁的，而学习要戒骄戒躁。学习是一场修行，数学书不是小说，学习数学则是苦修，是要坐冷板凳的，没有什么捷径可走的，踏踏实实。打好数分高代基础，尽早整理出属于自己的笔记。
- 学习数学。老师很重要，但自己更重要。记忆很重要，但理解更重要。做题很重要，但思考更重要。
其他相关问题
数学专业课要不要看懂证明
我对“看懂证明”的个人解释：1、看懂证明过程。2、理解证明过程。3、独立按照思路完成证明。4、独立按照自己思路完成证明（这个可以理解为完全可以按照自己的方法去证明）。1-4 步是搞懂一个证明的熟练度，数字越大代表你对这个证明的理解越透彻。
数学中有很多反直觉的东西。如果你不去严格证明，你压根不会觉得这是真实的（因为它反直觉）。但实际上直觉却是那个更不可靠的东西。这时候需要 motivation 和大量的反例。从反例就能间接地看出来，证明有多么重要。很多你自以为是正确的东西，大部分都是错的。数学中反直觉的东西不在少数。反例一堆一堆的。只有证明，才能保证不会出现反例，我们才能放心大胆地用那些看起来“显然”的结论。
数学家们都很笨的，没有定义，他们什么都做不了。（其实定义就是为了自洽）但是他们又都很聪明，只要有定义就够了。有很多问题，数学书上都没有定义过，那对于没有定义过的部分，我们该怎么做？数学证明，就是告诉我们，那些没有被直接定义的东西是什么，如何用证明去使用那些没有被定义过的东西。
学数学并不是去对着课本去检查逻辑。一个定理，一套理论，对你而言重要的应该是它的直观意义、例子、应用，其次才是证明。这里有个陷阱——很多人学数学靠的就是熟练证明，并且在考试中表现的不错，以至于有一种错觉认为学数学就是在不断地“check details”。这其中的原因是大部分人所接触的数学就是在不断地“检查逻辑”的方式而理解，然而一旦遇到超过你之前认知范围的数学时，你发现再也无法通过“检查逻辑”的方式学懂了。
那现在的问题就是，怎么才能做到理解定理的直观意义，让自己觉得它是 natural 的呢？简言之，数学是“highly-motivated”的，也就是说，每一个定义都有动机和目的，无论这个目的是为了解决“实际问题”还是数学内部的问题。
理解是一个非常困难的概念。人们认为数学的开始是你写下一个定理并附带证明。在历史上，很多定理的提出到所满足条件的逐渐完善这个过程，都需要不少数学家的付出。很多数学家也做不到一开始就能写出一个很简洁的证明。教材上那些简洁的证明过程，是无数前辈努力进行优化改进的结果。所以，为什么说教材上基本都是发展成熟的知识体系也正是这个原因。
对我来说，数学的创造性在你动手在纸上写字之前。你描绘不同的事物，在脑海中反复思考。你尝试的创作，就像音乐家试图创作音乐，或诗人写诗一样。这个过程没有可以遵循的规律，你必须找到自己的方法。但到了最后，就像作曲家必须写下乐谱一样，你必须把它写下来。但最重要的一步是理解。证明公式本身可能不能让你理解。
其实最后落在纸面上的证明是经过多少活跃的思考或者历史前人的积淀，应将其来龙去脉弄清楚。
如果真心想要学好数学的话，一定要充分理解书上的严格证明过程。如果自己想出来的证明和书上的证明不一样，想一想自己的证明是不是疏忽了什么东西，或者自己的证明也是对的，只是说法和书上不一样。但是初学者没必要强求把所有证明过程逐字逐句背下来（这也不是学数学的方法）以后看到同样的定理可能一下子想不起完整的证明过程，但是给你再看一下证明过程，你必须要能够做到比你第一次看的时候更快地看懂（也就是熟练度必须提高），或者告诉你大概的思路，你能够回忆起完整的证明过程。此外除了证明推导以外，计算也是一项基本能力。不过也没必要过分要求，比如没必要去背诵大量的公式（记住基础的十几个就可以了）和各种怪异的技巧——如果你自己对这些东西并不是特别感兴趣的话。毕竟在这个计算机高度发达的时代，基本可以解决所有计算类型的数学问题。
吃透很重要，我倒是觉得重要不代表优先。是的，如果吃透了概念，理解了定理的证明，绝对对你理解和应用定理有好处，但是，暂时理解不了证明的原因是多样的。背景知识的广度和深度不够，对于用法大局观理解不足，对于一些证明语言的不够熟练，都有可能是导致你觉得难以理解证明的原因。很多证明现在你会觉得难，但是经过一段时间的运用，练习，测试之后，再回来看，或许会变得直观浅显。所以，这些证明确实要掌握，但是并不一定是你现阶段最急切的事情。弄清各个定理的使用条件，能在遇到问题时合理的使用定理相对优先度更高。如果暂时理解不了证明，是可以暂时略过的。但是只是暂时。当运用不断加深，对你的理解要求不断增强之后，你应该还会回来重新审视，理解这些证明的。